數學之美：點解魚蝦蟹做莊必勝？有幾著數？
魚蝦蟹House Rule（識嘅可skip）
莊家必勝：Quick and Dirty Proof
掟三粒股，有幾多種結果？
數學少少：代入莊家嘅角色，教你數嘢
數學少少：代入閒家嘅角色，教你數嘢
很長的後記：數嘢之美，數學之美，數學教育
1. 極長，唔好話我唔警告你。不過唔深，甚至可能有啲人覺得太過淺太過詳細。又，你可以skip session嚟睇的。例如知道魚蝦蟹點玩已經睇少好多.
2. 結論好簡單，魚蝦蟹做莊必贏（＊），記得爭住做。雖然呢樣嘢好多人都知（但，都有人唔知），所以一個有效率嘅市場，當然係人人爭住做莊。而亦因為咁，有啲人嘅玩法，係輪流做莊。咁在此情況下，你嘅策略係：做閒嗰時有咁細買咁細！甚至去廁所！做莊嗰時就出口術叫陣，串啲人冇膽，叫佢買大啲！條數係咁計，當然值唔值得為少少錢，搞到個人咁計算，就係主觀道德判斷問題了。我只講客觀數字
3. 我好記得，廿幾三十年前上網，我講魚蝦蟹favor 莊家，有位平時自命不凡嘅網友串我，話點會係。我解返畀佢聽，佢完全冇聲出。
魚蝦蟹House Rule（識嘅可skip）
4. 但講返，慎防有人唔知咩係魚蝦蟹，我都講一次。如果好熟嘅唔使睇。另外，我講嘅係House Rule，我細個玩係咁，見上網都好多地方係咁。咁你屋企啲圍村例呀，新舊例呀，澳門例呀，我就唔知了，但即使賠率唔同，你都可以用我以下嘅資料計一次。
5. 為免有任何爭拗，或者有人唔知，講一次魚蝦蟹嘅玩法。三粒正常嘅六面骰，六面就係六款動物：魚，蝦，蟹，雞，金錢，胡盧（我知金錢同胡盧唔係動物，是但）。搵唔到專用骰嘅，用普通六面骰都可以，1–6，我以下計數都用1–6。
6. 又，聽聞澳門有規定邊個點數對邊款動物，呢度我地不深究。仲有，澳門嘅骰寶有唔同買法，可以大細，單雙之類，呢度亦不會。仲有，在世界各地都有類似嘅東西，亦不一一講。
7. 玩開嘅香港House Rule係咁：一個莊家，其他閒家，人數理論不限。大家落注，估六款動物開邊種。理論上你可以買多過一種，買晒六種都得。先放低錢，例如一百蚊（以下都用一百蚊，易解）。
8. 全部人買晒後，莊家就搖骰，然後開骰，睇下開到乜。咁如果開魚蝦蟹，咁買魚或蝦或蟹呢三門嘅人就贏，除咗拎返原本一百蚊，仲可以拎多一百。買其他三門嘅，嗰一百蚊就畀個莊沒收。
9. 記住save低呢段：比較有趣係，如果有重覆嘅動物點搞。第度唔知，但House Rule係咁：開兩條魚一隻蝦嘅話，咁其他四門嘅當然輸錢，買蝦嘅拎返本金外再贏一百。買魚嘅呢？就拎返本金外，再贏多兩百。So Good．同樣道理，開三條魚嘅，咁其餘五門全部輸錢。但買魚嘅呢？就拎返本金外，再拎三百。
莊家必勝：Quick and Dirty Proof
10. 睇到呢度，已經可以一個quick and dirty 嘅證明點解莊家必勝：在一般情況下，人夠多，賭得夠耐，而在坐又唔係個個海鮮敏感嘅，咁買六門嘅錢，拉長嚟講應該差不多。（要拗嘅，請去睇（＊））。總不會舖舖個個都全部買晒魚。就當每款動物都有一百蚊買（以下都用呢個假設）
11. 咁所以，好簡單，亦係當年我網友嘅盲點。佢話，咁你開魚蝦蟹，咪殺三家（金錢胡盧同雞），賠三家。殺三百拎三百咯，點會莊家有著數？
12. 冇錯，但你係咪舖舖都係開三粒唔同？魔鬼就在開 魚魚蝦，或者魚魚魚（我幾乎想打鱻）嘅局數！莊家就係呢啲位賺錢。
13. 我開魚魚蝦，我殺四家，拎四百。但只係賠返一百畀蝦，同埋兩百畀魚，淨袋一百。我開魚魚魚嘅，殺五家，拎五百，但只係賠三百畀買魚嘅人，凈執兩百。
14. 換言之：開三粒唔同嘅局數，莊家冇著數。但到開兩隻重覆，或者三隻一樣嘅圍股，莊家就爽。
15. 再換個角度睇：你見莊家永遠都只係賠三百（可能係三家兩家或一家），但殺可以係三百四百或五百。
掟三粒股，有幾多種結果？
16. 想數學少少？就睇呢度啦。網上有啲人解得略為深，我就保證初中數學程度都明（有冇話你知我係教數學的？）。簡單起見，用1+6，唔再講魚蝦蟹。個Excel我唔知放邊度好，但你自己整都好快。
17. 首先，掟三粒股，有幾多種結果？唔好咩又出嚟啲 permutation combination （都痴線），又唔好整啲factorial．咪就係 6*6*6，216個。
18. 呢個係combinatorics（術語呀）所有嘢嘅開始，我記得小學雞都有教（！），就係快餐店定律： 湯有紅湯白湯，主菜雞牛羊（冇素食呀），跟飯或意粉或薯菜，餐飲奶茶咖啡（冇華田，唔好問），可以凍熱．你就有 2*3*3*2*2 = 72種組合呀！完全係蔡依林看我72變。搞事嘅小朋友會問有冇得小甜，有冇鴛鴦，有冇雙拼（不如半碟意粉半碟飯丫？），有冇得走冰。但正經啲嘅小朋友，應該問：可唔可以唔要餐湯。（答埋你，如果可以嘅，你個湯咪變咗三款，紅白或者冇，冇都係一個選擇）。再煩啲嘅小朋友，就問可唔可以又要飯又要意粉（咁就有啲難計，唔好食咁多carb啦肥仔）
19. 你可以慢慢整。我列埋你睇。綠色係第一粒，格仔內係其他兩粒，由111去到6*6*6，216款。你可以數一次，亦都明白點解係 6*6*6。Save低個圖佢。
數學少少：代入莊家嘅角色，教你數嘢
20. 然後我地睇下，開三粒一樣嘅，有幾多次？就係6次。黃色格。好簡單啦？
21. 然後睇下，剛好開兩粒一樣嘅（不包三粒），紅色格：在左上角綠色1嗰度，打直，打橫，打斜。係11A，或者1A1，或者1AA。A不能係1，所以A有5個選擇，三種加埋就係15款，紅色格，你數都數到。呢個過程重覆6次，即係15*6，90次。（你亦都見到，90 = 6*5*3）（3 for 直橫斜，5個格仔，重覆6次，數學之美呀！）
22. 最後，三粒不同嘅，白色格：左上角綠色1嗰度，輕易睇到條斜線，斬開兩份。左下10，右上10，夾埋20。重覆6次，即係120。又或者，你可以去理解，120 = 6*4*5，ABC，A可以揀六味，B只能五味（不可重覆嘛），C去到四味。就係 120 = 6*4*5。 數學之美呀！
23. 然後，三粒一樣6次，剛好兩粒一樣（不計三粒）就90，三粒不同就120。6+90+120，就係216呀！係咪好神奇呢！數學之美呀！
24. 理論上，你可以只計兩個情況，然後用216去減，但唔係勁人唔好咁做，因為可能你頭兩個數計錯。應該好似我咁，計晒三個出嚟，加下睇下係咪216。唔係嘅，就睇下邊度錯。
25. 好啦，搞完呢度，我地可以代入莊家角色。重覆一次，開三粒唔同莊家冇著數，開兩粒一樣佢執一百，開三粒一樣佢執兩百。所以，216盤後，120盤佢白做（掟到手軟未？），但90盤執一百，6盤執兩百。夾埋即係216盤執 120*0 + 90*100+ 6*200 = 10,200。216盤，即係，一盤執47.2。
26. 應該睇到一半，已經有人急不及待咁諗，頂，你唔識用Expected Value？雖然我second lower，但我係讀精算的，你話我識唔識？「其實計Derivative payoff 都係咁計」「不過要整條PDE同寫個程式」
27. 但，呢篇文講明初中程度，我唔會用呢啲術語。只係教你就咁數。你見我連probability 都冇提過！你要嘅，表度有。「其實咪一樣」。當然理論上應該用分數唔係小數，但我費事打分數算式打到手軟。
28. 無論如何，一舖每門一舊水，夾埋六舊水嘅，就有47.2去咗個莊家度。都幾和味。但亦留意，又係數學之美。頭先講咗三門唔同嘅莊家冇錢賺啦，而呢啲情況係過一半嘅（216次入面有120次喎）。剩返嘅就係莊家搵錢嘅局數。不過，你見216舖執落嘅10,200，有9000係嚟自兩粒一樣嘅情況！（或者話，嗰47.2，有41.7係嚟自開兩粒一樣）。點解？因為兩粒一樣，216次有90次，係多過三粒一樣嘅6次好多好多倍。三粒一樣雖然和味，但太少出現。
數學少少：代入閒家嘅角色，教你數嘢
29. 好啦，未完架喎！真係Flags of Our Fathers vs 硫磺島戰書（有冇人明我講乜？）。睇完莊家嘅角度，我地睇閒家嘅角度！留意唔係掉轉玩喎，唔同的，唔好忘記有5門閒家。
30. 以下嘅閒家，係指某一門嘅閒家，唔係collectively 5門加埋（5門加埋就真係莊家掉轉啦，proof is left as an exercise to the readers）。你當係買雞嘅嗰門人，我將佢當係一個人。
31. 留意，閒家嘅勝負情況（術語payoff function）同莊家唔同。閒家不存在「打和」。你買一百，開唔中嘅，就輸一百。開中嘅，可能贏一百，二百，或三百。
32. 甚至，連數嘅嘢，都有啲唔同。要再數過216個情況。但呢部份唔難，快講。
33. 我當你買雞，係1號（我知澳門1號係魚，唔好煩啦）。216個組合嘛。Save低呢張圖
34. 買雞，216盤之中，咁好明顯，開三隻雞嘅，只有1次，藍色嗰格111。
35. 開剛好兩隻雞（唔計三隻）呢？黃色嘅格。11A，1A1，A11。A可以係五個其他嘢。所以係3*5 = 15。又或者，你數都數到，黃色嘅格。左上角綠色1嗰度，佔咗10格（其實就係11A同 1A1，5+5），同埋其他五舊，各有一個A11，5+5+5=15。數學之美呀！
36. 開剛好一隻雞（唔計兩隻或三隻）呢？白色嘅格。即係1AB，AB1，A1B．A同B不能係1，但可以重覆。即係A同B各有五個揀，三個都係5*5，就3*5*5= 75。另一個方法睇，就咁數，白色嘅格。左上角綠色1嗰度，有25格（就係1AB），其他呢？每個有10 = 5+5（就係AB1同A1B），5個情況加埋，即係5*10=50。所以大數係50+25 =75。數學之美呀！
37. 冇雞呢？簡單，紅色格。ABC，三個不能係1，但可以重覆，即係ABC各有三個任揀。一計計到，5*5*5=125。你亦可以數，紅色嘅東西。左上角綠色1嗰度冇，其他就每個5*5＝25，大數就係5*25=125。數學之美呀！
38. Sum up，三隻雞，1次。剛好兩隻雞（唔計三隻），15次。剛好一隻雞（唔計兩隻三隻），75次。冇雞，125次。1 + 15 + 75 + 125 = 216．啱數。哇，數學之美呀！
39. 拿，鍾意扮勁嘅，話埋你知，Binomial Coefficient 呀，Pascal Triangle 楊輝三角賈憲三角呀，
40. 你整個（a+b）³，a=1，b=5，就會係上面嘅東西，1 + 15 + 75 + 125 = 216。三雞＋兩雞＋一雞＋冇雞＝所有情況。係咪好奇妙呢？實情兩者係同一樣嘢嚟的，等你大個啲教你。
41. 好啦喎，數完雞，埋單計數。216舖當中，125次冇雞，輸100蚊，夾埋輸12500。75次一雞，執100，夾埋贏7500。15次兩雞，每次執200，夾埋贏3000。1次三雞，贏300。加埋晒，216舖， -12500 + 7500 + 3000 +300 = -1700，加埋仲係要輸錢。除返開216舖，每舖就輸7.9。即係每舖買100蚊，差不多輸8蚊。
42. 知唔知更偉大嘅係乜？買雞嗰位，一舖輸7.9。咁六門夾埋，六個閒家，輸7.9*6= 47蚊左右。咪正係莊家贏嘅錢！ 第25段講嘅嘢！即係冇計錯數！數學之美！
很長的後記：數嘢之美，數學之美，數學教育
43. 點解寫呢篇文？過癮咯。同埋使命。唔通你以為有人因為呢篇文會去訂我Patreon？我寫多兩篇股票唔好？
44. 多謝你容忍到呢度，應該稍為有啲數學能力嘅會覺得，大佬呀，兩句寫完嘅嘢，你寫咁長？
45. 但明顯我係特登的，首先我避開晒所有術語，唔講機率，唔講Expected value，更加唔要啲咩 nCr nPr 或者 階乘（係咯，你可能都唔知咩叫階乘，要玩術語我都識玩）。我希望真係數學好初級程度嘅都明
46. 我寫文嘅目的，唔只係要解答點解莊家有優勢，或者有幾多優勢。計條數有幾難？要示範莊家優勢有幾難？第10–15段已經講咗。
47. 我想做到嘅，係一個discovery嘅過程，欣賞數學之美。所以我先要啲嘢用幾個計法，又同你油下顏色。其實我一條式掟畀你咪慳水慳力，但我偏唔想。
48. 我相信discovery其中一個最好嘅開始點，就係Combinatorics。個名好似好深，其實就係教你點數嘢。照計呢門學問，歷史最古老，人類文明開端時，數學就係用嚟數嘢，咁照計我地嘅祖先好快已經諗呢啲 排例與組合嘅問題。
49. 十分出奇地，我讀咁多年中學，居然都係冇讀過嘅！係咪好奇怪？會考數學有考Probability（好似初中已經有？），但，好似冇乜點教你數嘢？同樣地，A Maths教binomial theorem（幾好玩的說），有講nCr等等，但邊有教你數嘢？去到Pure maths，讀Binomial coefficient，本書其實有教數嘢，不過歐思，阿蛇唔會教（否則又畀你班大帝貼上網鬧），係我呢啲咁不學無術嘅學生先自己睇自己做數。我最鍾意嘅題目，大約係話 13支打橫 17支打直嘅竹簽，整個grid，入面有幾多個長方型（for God’s sake，正方型係長方型嘅一種啦，大佬）。唯獨係去到大學讀精算，讀Probability and Statistics 101 係咁意有講過下咁咯。
50. 聽聞好似Applied Maths有教，但我冇讀，亦冇教過，唔知。雖然我呢啲咁不學無術嘅學生，係會拎學校圖書館本Applied Maths自己睇，但好似未睇到教Stat已經冇再睇。後來反而我教書有教過Maths and Stat，年代久遠，都唔記得有冇教數嘢，好可能係冇。就算有，都肯定係皮毛嘢。心照啦，AS Level，大家都知Maths and Stat畀啲唔讀Pure Maths或 Applied Maths嘅人讀的（不能一齊考的說，食慒你呀，可以嘅我一早做咗）
51. 以我讀咗咁多年數，又補咗咁多年習，仲教咗兩年書，長期熱愛數學（唔係你以為我寫呢篇文為乜？）嘅觀察。香港嘅學生（好似成個東亞都係），運算能力之類好強，我在英國讀Master時，啲所謂名大學undergrad 讀數嘅鬼，哈，郁下就要查integration table，東亞學生邊使呢啲嘢！
52. 但講到個「數感」，抽象思維，就好似亞洲學生差啲。特別係未係最勁嘅嗰啲學生，知其然不知其所然。要佢計數冇乜問題，Proof都識做（反正做得Past paper多，年年都係嗰啲嘢，Definite Integral Reduction Formula 考咗幾多年？我做得廿年（好出奇？）Past paper，唔好話合埋眼都識做：我直頭識得出一題呀！），但往往真係唔知背後做緊乜的。
53. Combinatorics我覺得係一個好東西，回歸初心，教你數嘢，甚至formula都唔用，discover一下。畀你知道你嗰堆咩nCr其實係乜嚟的。6條女揀3件，冋我三娘教子（＊＊）。我知係6C3，20。但點解係20？點解6C3係20？我知係（6*5*4）/（3*2*1），但點解？咪講笑，你問個數學拎A嘅學生，都未必答到你。死未。
54. 正如你試下，捉個學生問佢乜嘢係limit？睇下有幾多人答到你？我唔使你背定義delta epsilon，但就咁解一次，你估有幾多人解到？但叫佢計就識計的。又或者，解下點解個definite integral，就係條曲線下面嘅面積？
55. 正如我講，我識嘅學生，唔少都可以玩到啲咩L’Hospital’s rule 出神入化，take 埋log都仲識。好多古怪嘅definite integral 都識做，計啲神化嘅曲線面積都識。但好多都唔知背後其實做緊乜。
56. 一如過住，都係寫到一舊舊，但明嘅應該明我想表達乜。我覺得呢啲都係社會風氣，任你鬧邊個都好，總之社會嘅錯。歐思嘢，教嚟畀人鬧呀，學生亦唔會自己睇，睇嚟做乜？掉轉，試下我話考試要你解54段嘅嘢？我保證就算書冇，學生都會出面搵人補習。
57. 咁我真係明，求學求分數嘛。我幫人補習都唔講歐思嘢的，唔好同錢作對，除非學生主動問（有咁嘅人？係有的，可能一百個當中有一個。嗰條皇仁仔，會考9A。你話佢勁？咁你不如諗下，佢咁勁都要搵我喎）。不過呢，你問我，真係why not both？「我睇埋歐思嘢都仲係拎A1」，我甚至得閒到拎文科班嘅文學書嚟睇（梗係溝女啦，不過女就溝唔到，但變咗文青）
58. 再講一個例子，你知學校啲書單，一向都係官商勾結利益輸送，買撚埋啲根本成個學期都唔用嘅書。嗰時我中學書單，都有本橙色書仔，就有講Combinatorics！我好撚好撚好撚肯定，係兩年都冇用過嗰本書，甚至冇人提過嗰本書。但我就有去睇！
59. 咁你話，扯，個個好似你咁勁咩。咁我地又諗下啦喎，其實個社會，係咪需要咁多人去讀L’Hospital’s rule？係咪要咁多人讀大學？
60. 你有幾多學生，會再讀上去？然後又有幾多個第時工作會用到？
61. 我知，唔係咁功利嘛，大學唔係職業訓練所嘛（其實係）。但，咁如果你只係認為大學係咩訓練獨立思考（每次聽到我都想笑，啲人唔讀大學原來係冇獨立思考的）之類嘅，咁我肯定，真係唔使學咁深嘅嘢。
62. 雖然呢，聽聞又有人覺得，而家啲學生學啲嘢越學越淺，大學就中學化，中學就小學化，又話啲友上到大學都唔夠料。不過呢個真係古已有之啦，我讀書年代啲阿蛇都係咁講我地。
63. 結論？我都唔知喎。理論上應該引起啲學生學習興趣嘛。但，香港地呢，邊有人認真做學問？好易眼紅出面啲人搵錢易。
（＊）總有啲麻煩友要拗唔係「必贏」，冇錯，機率當然只係講長線，咁你鍾意瞓身家去澳門買大細磨爛席都冇話唔得，可能中呢。賭場所謂「必贏」都係咁意思，賭仔「必輸」亦係咁意思。咁你大可以反駁話上次你贏錢，或者你好好彩連買十舖大細都中，好難咩？唔係好難。但，我地講成個system．你一條友贏到發達，改變唔到賭仔「必輸」呢樣嘢。我以為係常識。
又，亦都為咗減低賭場嘅風險，所以會有投注上限，等你冇得一舖爆煲莊。冇錯，我當你有兩千萬，一定要賭晒佢，如果冇上限，最有利（最少蝕底）嘅方法，就係一棍過買晒佢，咁你有稍為低過50%嘅勝算，賭場就最驚呢啲行運超人，所以要有上限。慢慢分開嘅，賭場就最開心。
又，亦都睇到投資嘅哲埋。投資就正好相反，odds在你嗰邊。慢慢買勝算先高，all in 先最笨。仲唔明嘅，睇呢個圖（睇埋都唔明我幫你唔到）。
而你見好多人呢，好Q好笑，賭錢就走去磨爛席。但投資就走去短炒。你話我涼薄都好，呢啲唔抵可憐。
（＊＊）當然如果你真係打牌，上下家對家唔同你當係唔同呢，就變咗6P3了。事實6C3 咪就係 6P3/（3*2*1）．
